21. Часть программы тренировок Арсения заключается в беге на беговой дорожке. На первой тренировке необходимо бежать 15 минут, на каждой следующей время пробежки увеличивается на 7 минут. За сколько тренировок Арсений проведет на беговой дорожке в общей сложности 2 часа 25 минут, если будет следовать программе? (В ответе укажите только число.)

Пошаговое решение:

1. Переведем 2 часа 25 минут в минуты: 2 * 60 + 25 = 145 минут.
2. Пусть \( n \) — количество тренировок.
3. Время первой тренировки \( a_1 = 15 \) минут.
4. Разность арифметической прогрессии \( d = 7 \) минут.
5. Сумма \( n \) членов арифметической прогрессии: \[ S_n = \frac{2a_1 + (n - 1)d}{2} \cdot n \] \[ S_n = \frac{2 \cdot 15 + (n - 1)7}{2} \cdot n = 145 \]
6. Решим уравнение: \[ (30 + 7n - 7)n = 290 \] \[ (23 + 7n)n = 290 \] \[ 7n^2 + 23n - 290 = 0 \]
7. Найдем дискриминант: \[ D = 23^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-290) = 529 + 8120 = 8649 \] \[ \sqrt{D} = 93 \]
8. Найдем корни уравнения: \[ n_1 = \frac{-23 + 93}{14} = \frac{70}{14} = 5 \] \[ n_2 = \frac{-23 - 93}{14} = \frac{-116}{14} \approx -8.29 \]
9. Так как количество тренировок не может быть отрицательным, выбираем \( n = 5 \).

Ответ: 5