22. Занятия йогой начинают с 15 минут в день и увеличивают на 10 минут время каждый следующий день. Сколько дней следует заниматься йогой в указанном режиме, чтобы суммарная продолжительность занятий составила 2 часа?

Пошаговое решение:

1. Переведем 2 часа в минуты: 2 * 60 = 120 минут.
2. Пусть \( n \) — количество дней занятий йогой.
3. Время первого занятия \( a_1 = 15 \) минут.
4. Разность арифметической прогрессии \( d = 10 \) минут.
5. Сумма \( n \) членов арифметической прогрессии: \[ S_n = \frac{2a_1 + (n - 1)d}{2} \cdot n \] \[ S_n = \frac{2 \cdot 15 + (n - 1)10}{2} \cdot n = 120 \]
6. Решим уравнение: \[ (30 + 10n - 10)n = 240 \] \[ (20 + 10n)n = 240 \] \[ 10n^2 + 20n - 240 = 0 \]
7. Разделим обе части уравнения на 10: \[ n^2 + 2n - 24 = 0 \]
8. Найдем дискриминант: \[ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100 \] \[ \sqrt{D} = 10 \]
9. Найдем корни уравнения: \[ n_1 = \frac{-2 + 10}{2} = \frac{8}{2} = 4 \] \[ n_2 = \frac{-2 - 10}{2} = \frac{-12}{2} = -6 \]
10. Так как количество дней не может быть отрицательным, выбираем \( n = 4 \).

Ответ: 4 дня