18. Для асфальтирования участка длиной 99 м используются 2 катка. Первый каток был установлен в одном конце участка, второй в противоположном. Работать они начали одновременно. Первый каток в каждую минуту проходил 5 м, а второй каток за первую минуту прошел 1,5 м. а за каждую следующую минуту проходил на 0,5 м больше, чем за предыдущую. Через сколько минут катки встретились?

Пошаговое решение:

1. Пусть \( t \) — время в минутах до встречи катков.
2. Первый каток движется с постоянной скоростью 5 м/мин. Расстояние, которое он пройдет, равно: \[ S_1 = 5t \]
3. Второй каток движется с ускорением. Его скорость в минуту \( i \) равна: \[ v_i = 1.5 + 0.5(i - 1) \] Расстояние, пройденное в минуту \( i \), равно \( v_i \).
4. Общее расстояние, которое пройдет второй каток за \( t \) минут, можно найти как сумму арифметической прогрессии: \[ S_2 = \frac{1.5 + (1.5 + 0.5(t - 1))}{2} \cdot t \] \[ S_2 = \frac{3 + 0.5t - 0.5}{2} \cdot t \] \[ S_2 = \frac{2.5 + 0.5t}{2} \cdot t \] \[ S_2 = 1.25t + 0.25t^2 \]
5. Сумма расстояний, пройденных обоими катками, должна быть равна длине участка: \[ S_1 + S_2 = 99 \] \[ 5t + 1.25t + 0.25t^2 = 99 \] \[ 0.25t^2 + 6.25t - 99 = 0 \]
6. Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от десятичных дробей: \[ t^2 + 25t - 396 = 0 \]
7. Решим квадратное уравнение: \[ D = 25^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-396) = 625 + 1584 = 2209 \] \[ t_1 = \frac{-25 + \sqrt{2209}}{2} = \frac{-25 + 47}{2} = \frac{22}{2} = 11 \] \[ t_2 = \frac{-25 - 47}{2} = \frac{-72}{2} = -36 \]
8. Так как время не может быть отрицательным, выбираем положительное значение.

Ответ: 11 минут