18. cos 2α(1 + tg² α) - 1.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Запишем, что \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\), и подставим это в выражение:
   • \(\cos 2\alpha (1 + \tan^2 \alpha) - 1 = \cos 2\alpha \left(1 + \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}\right) - 1\)
2. Шаг 2: Упростим выражение в скобках:
   • \(1 + \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{1}{\cos^2 \alpha}\)
3. Шаг 3: Подставим упрощенное выражение обратно:
   • \(\cos 2\alpha \cdot \frac{1}{\cos^2 \alpha} - 1\)
4. Шаг 4: Запишем формулу двойного угла для косинуса: \(\cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1\) или \(\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha\) или \(\cos 2\alpha = 1 - 2 \sin^2 \alpha\). Удобнее всего использовать \(\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha\).
5. Шаг 5: Подставим формулу двойного угла в наше выражение:
   • \(\frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} - 1 = \frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} - \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} - 1 = 1 - \tan^2 \alpha - 1\)
6. Шаг 6: Упростим выражение:
   • \(1 - \tan^2 \alpha - 1 = -\tan^2 \alpha\)

Ответ: \(-\tan^2 \alpha\)