14. Найти sin 2α, если tgα = -1/2.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Выразим \(\sin \alpha\) и \(\cos \alpha\) через \(\tan \alpha\).
2. Шаг 2: Вспомним, что \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\), поэтому \(\sin \alpha = \tan \alpha \cdot \cos \alpha\).
3. Шаг 3: Используем тригонометрическое тождество:
   • \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\)
4. Шаг 4: Подставим \(\sin \alpha = \tan \alpha \cdot \cos \alpha\) в тригонометрическое тождество:
   • \((\tan \alpha \cdot \cos \alpha)^2 + \cos^2 \alpha = 1\)
   • \(\tan^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\)
   • \(\cos^2 \alpha (\tan^2 \alpha + 1) = 1\)
   • \(\cos^2 \alpha = \frac{1}{\tan^2 \alpha + 1}\)
   • \(\cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{1}{\tan^2 \alpha + 1}}\)
5. Шаг 5: Подставим \(\tan \alpha = -\frac{1}{2}\):
   • \(\cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{1}{(-\frac{1}{2})^2 + 1}} = \pm \sqrt{\frac{1}{\frac{1}{4} + 1}} = \pm \sqrt{\frac{1}{\frac{5}{4}}} = \pm \sqrt{\frac{4}{5}} = \pm \frac{2}{\sqrt{5}} = \pm \frac{2\sqrt{5}}{5}\)
6. Шаг 6: Найдем \(\sin \alpha\):
   • \(\sin \alpha = \tan \alpha \cdot \cos \alpha = -\frac{1}{2} \cdot \left(\pm \frac{2\sqrt{5}}{5}\right) = \mp \frac{\sqrt{5}}{5}\)
7. Шаг 7: Подставим \(\sin \alpha\) и \(\cos \alpha\) в формулу \(\sin 2\alpha\):
   • \(\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \left(\mp \frac{\sqrt{5}}{5}\right) \cdot \left(\pm \frac{2\sqrt{5}}{5}\right) = -2 \cdot \frac{2 \cdot 5}{25} = -\frac{20}{25} = -\frac{4}{5}\)

Ответ: \(-\frac{4}{5}\)