Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 19. Доказать тождество 1/8 - cos² α + cos⁴ α = 1/8 cos 4α.Фото задания

Ответ:

Краткое пояснение: Для доказательства этого тождества преобразуем левую часть, используя формулы косинуса двойного угла, чтобы показать, что она равна правой части.

Пошаговое решение:

  1. Шаг 1: Преобразуем левую часть тождества:
    • \(\frac{1}{8} - \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha\)
  2. Шаг 2: Добавим и вычтем \(\frac{1}{2} \cos^2 \alpha\) для завершения квадрата:
    • \(\frac{1}{8} - \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha = \frac{1}{8} + \left(\cos^4 \alpha - \cos^2 \alpha + \frac{1}{4}\right) - \frac{1}{4}\)
    • \(\frac{1}{8} + \left(\cos^2 \alpha - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} = \frac{1}{8} + \left(\cos^2 \alpha - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{2}{8}\)
  3. Шаг 3: Упростим выражение:
    • \(\left(\cos^2 \alpha - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{8}\)
  4. Шаг 4: Вспомним формулу косинуса двойного угла: \(\cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1\), откуда \(\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}\). Подставим это в нашу скобку:
    • \(\cos^2 \alpha - \frac{1}{2} = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2} - \frac{1}{2} = \frac{\cos 2\alpha}{2}\)
  5. Шаг 5: Возведем в квадрат:
    • \(\left(\frac{\cos 2\alpha}{2}\right)^2 - \frac{1}{8} = \frac{\cos^2 2\alpha}{4} - \frac{1}{8}\)
  6. Шаг 6: Теперь вспомним, что \(\cos^2 2\alpha = \frac{1 + \cos 4\alpha}{2}\). Подставим это:
    • \(\frac{1}{4} \cdot \frac{1 + \cos 4\alpha}{2} - \frac{1}{8} = \frac{1 + \cos 4\alpha}{8} - \frac{1}{8} = \frac{\cos 4\alpha}{8}\)
  7. Шаг 7: Получаем:
    • \(\frac{\cos 4\alpha}{8} = \frac{1}{8} \cos 4\alpha\)

Тождество доказано.