(1-cosa)² 4. lim a→0 tg³a-sina

4. $$lim_{a \to 0} \frac{(1 - cos(a))^2}{tg^3(a) - sin(a)}$$

Используем разложение в ряд Тейлора для $$cos(a)$$, $$tg(a)$$ и $$sin(a)$$ в окрестности 0:

$$cos(a) = 1 - \frac{a^2}{2} + O(a^4)$$ $$tg(a) = a + \frac{a^3}{3} + O(a^5)$$ $$sin(a) = a - \frac{a^3}{6} + O(a^5)$$

Тогда:

$$1 - cos(a) = \frac{a^2}{2} + O(a^4)$$ $$(1 - cos(a))^2 = \frac{a^4}{4} + O(a^6)$$ $$tg^3(a) = (a + \frac{a^3}{3} + O(a^5))^3 = a^3 + O(a^5)$$ $$tg^3(a) - sin(a) = a^3 - a + \frac{a^3}{6} + O(a^5) = -a + O(a^3)$$

$$lim_{a \to 0} \frac{\frac{a^4}{4} + O(a^6)}{-a + O(a^3)} = 0$$

Ответ: 0