4. lim x²+1+x √x+1 ピー300

4. $$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt[3]{x^2 + 1 + x}}{\sqrt{x + 1}}$$ Разделим числитель и знаменатель на $$x^{\frac{1}{2}}$$:

$$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt[3]{\frac{x^2}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{x}{x^{\frac{3}{2}}}} }{\sqrt{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt[3]{x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}}{\sqrt{1 + \frac{1}{x}}}$$

При $$x \to \infty$$, $$\frac{1}{x} \to 0$$, $$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \to 0$$, $$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \to 0$$, а $$x^{\frac{1}{2}} \to \infty$$, следовательно, предел равен $$\infty$$.

Ответ: ∞