15. Дан треугольник с вершинами А (2; -1;2), B (1; 2; -1) и С (3; 2; 1). Вычислить площадь треугольника и высоту, опущенную из вершины А (средствами векторной алгебры).

Задание относится к векторной алгебре, необходимо вычислить площадь треугольника и высоту, опущенную из вершины A, зная координаты вершин треугольника ABC.

Найдем координаты векторов BC.

BC = (3 - 1; 2 - 2; 1 - (-1)) = (2; 0; 2)

BA = (2 - 1; -1 - 2; 2 - (-1)) = (1; -3; 3)

Площадь треугольника ABC равна половине модуля векторного произведения векторов BC и BA.

Найдем векторное произведение векторов BC и BA:

$$\vec{c} = \vec{BC} \times \vec{BA} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 2 & 0 & 2 \\ 1 & -3 & 3 \end{vmatrix} = (0 + 6)i - (6 - 2)j + (-6 - 0)k = 6i - 4j - 6k$$

Векторное произведение с = (6; -4; -6)

Модуль векторного произведения:

$$|\vec{c}| = \sqrt{6^2 + (-4)^2 + (-6)^2} = \sqrt{36 + 16 + 36} = \sqrt{88} = 2\sqrt{22}$$

Площадь треугольника равна половине модуля векторного произведения векторов BC и BA, то есть S = 1/2 * 2$$\sqrt{22}$$ = $$\sqrt{22}$$.

Найдем длину стороны BC равна модулю вектора BC:

$$|\vec{BC}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 0 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$

Высота h, опущенная из вершины A на сторону BC, равна:

$$h = \frac{2S}{|\vec{BC}|} = \frac{2 \cdot \sqrt{22}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{22}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{22}{2}} = \sqrt{11}$$

Ответ: Площадь $$\sqrt{22}$$, высота $$\sqrt{11}$$