16. Даны векторы который пер- a=i-2j+k nb = 5i + 3). Найти вектора, пендикулярен векторам а и Б, если длина его численно равна площади треуго- льника, построенного на векторах а и ь, и тройка векторов a, b, d - правая.

Задание относится к векторной алгебре, необходимо найти вектор , который перпендикулярен векторам и , если длина его численно равна площади треугольника, построенного на векторах и , и тройка векторов , , - правая.

Вектор = (1; -2; 1), вектор = (5; 3; 0).

Площадь треугольника, построенного на векторах и , равна половине модуля векторного произведения этих векторов.

Найдем векторное произведение векторов и :

$$\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & -2 & 1 \\ 5 & 3 & 0 \end{vmatrix} = (-3 - 0)i - (0 - 5)j + (3 + 10)k = -3i + 5j + 13k$$

Векторное произведение с = (-3; 5; 13)

Модуль векторного произведения:

$$|\vec{c}| = \sqrt{(-3)^2 + 5^2 + 13^2} = \sqrt{9 + 25 + 169} = \sqrt{203}$$

Площадь треугольника:

$$S = \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}| = \frac{1}{2} (\sqrt{203}) = \frac{\sqrt{203}}{2}$$

По условию, модуль вектора должен быть численно равен площади треугольника, то есть |d| = S = $$\frac{\sqrt{203}}{2}$$

Вектор должен быть перпендикулярен векторам и , а также тройка векторов , , должна быть правой. Это означает, что вектор должен быть сонаправлен векторному произведению векторов и .

Так как векторное произведение векторов и равно (-3, 5, 13), а модуль вектора должен быть $$\frac{\sqrt{203}}{2}$$, то вектор можно найти, умножив векторное произведение на коэффициент:

$$\vec{d} = k \cdot (-3, 5, 13)$$

Модуль вектора :

$$|\vec{d}| = |k| \sqrt{(-3)^2 + 5^2 + 13^2} = |k| \sqrt{9 + 25 + 169} = |k| \sqrt{203}$$

Так как должен быть равен $$\frac{\sqrt{203}}{2}$$:

$$\frac{\sqrt{203}}{2} = |k| \sqrt{203}$$ $$|k| = \frac{1}{2}$$

Поскольку тройка векторов должна быть правой, k должен быть положительным, то есть k = 1/2.

Тогда вектор :

$$\vec{d} = \frac{1}{2} (-3, 5, 13) = (-\frac{3}{2}, \frac{5}{2}, \frac{13}{2})$$

Вектор d = (-$$\frac{3}{2}$$; $$\frac{5}{2}$$; $$\frac{13}{2}$$)

Ответ: (-$$\frac{3}{2}$$; $$\frac{5}{2}$$; $$\frac{13}{2}$$)