7. Даны векторы (-1; 3; 3) и b = 2i + 2k. Найти вектор с, C перпендикулярный к векторам а и ь, если модуль вектора численно равен площади треугольника, построенного на векторах а и ь, и тройка векторов а, в, с - левая.

Задание относится к векторной алгебре, необходимо найти вектор, перпендикулярный данным векторам, зная его модуль и ориентацию тройки векторов.

Вектор а = (-1, 3, -3) и вектор b = (2, 0, 2).

Площадь треугольника, построенного на векторах а и b, равна половине модуля векторного произведения этих векторов.

Векторное произведение векторов a и b:

$$\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ -1 & 3 & -3 \\ 2 & 0 & 2 \end{vmatrix} = (6 - 0)i - (-2 + 6)j + (0 - 6)k = 6i - 4j - 6k$$

Векторное произведение с = (6; -4; -6)

Модуль векторного произведения:

$$|\vec{c}| = \sqrt{6^2 + (-4)^2 + (-6)^2} = \sqrt{36 + 16 + 36} = \sqrt{88} = 2\sqrt{22}$$

Площадь треугольника:

$$S = \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}| = \frac{1}{2} (2\sqrt{22}) = \sqrt{22}$$

По условию, модуль вектора должен быть численно равен площади треугольника, то есть |d| = S = $$\sqrt{22}$$

Вектор должен быть перпендикулярен векторам и , а также тройка векторов , , должна быть левой. Это означает, что вектор должен быть антинаправлен векторному произведению векторов и .

Так как векторное произведение векторов и равно (6, -4, -6), а модуль вектора должен быть $$\sqrt{22}$$, то вектор можно найти, умножив векторное произведение на коэффициент:

$$\vec{d} = k \cdot (6, -4, -6)$$

Модуль вектора :

$$|\vec{d}| = |k| \sqrt{6^2 + (-4)^2 + (-6)^2} = |k| \sqrt{88} = |k| 2\sqrt{22}$$

Так как должен быть равен $$\sqrt{22}$$:

$$\sqrt{22} = |k| 2\sqrt{22}$$ $$|k| = \frac{1}{2}$$

Поскольку тройка векторов должна быть левой, k должен быть отрицательным, то есть k = -1/2.

Тогда вектор :

$$\vec{d} = -\frac{1}{2} (6, -4, -6) = (-3, 2, 3)$$

Вектор d = (-3; 2; 3)

Ответ: (-3; 2; 3)