10. В треугольнике АВС, где A (-1; 4; 3), B(-1; 20; 13), С(-1; 10; 7), найти длину высоты, опущенной на сторону АВ (через площадь треугольника; средствами векторной алгебры).

Задание относится к векторной алгебре, необходимо найти длину высоты, опущенной на сторону AB, зная координаты вершин треугольника ABC.

Найдем координаты векторов AB и AC.

AB = (-1 - (-1); 20 - 4; 13 - 3) = (0; 16; 10)

AC = (-1 - (-1); 10 - 4; 7 - 3) = (0; 6; 4)

Площадь треугольника ABC равна половине модуля векторного произведения векторов AB и AC.

Найдем векторное произведение векторов AB и AC:

$$\vec{c} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 0 & 16 & 10 \\ 0 & 6 & 4 \end{vmatrix} = (64 - 60)i - (0 - 0)j + (0 - 0)k = 4i - 0j + 0k$$

Векторное произведение с = (4; 0; 0)

Модуль векторного произведения:

$$|\vec{c}| = \sqrt{4^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4$$

Площадь треугольника равна половине модуля векторного произведения векторов AB и AC, то есть S = 1/2 * 4 = 2.

Длина стороны AB равна модулю вектора AB:

$$|\vec{AB}| = \sqrt{0^2 + 16^2 + 10^2} = \sqrt{0 + 256 + 100} = \sqrt{356} = 2\sqrt{89}$$

Высота h, опущенная на сторону AB, равна:

$$h = \frac{2S}{|\vec{AB}|} = \frac{2 \cdot 2}{2\sqrt{89}} = \frac{2}{\sqrt{89}} = \frac{2\sqrt{89}}{89}$$

Ответ: $$\frac{2\sqrt{89}}{89}$$