12. В треугольнике с вершинами А (-1; 4; 3), B(-1; 20; 13) и C(-1; 10; 7) точка Е делит сторону АВ пополам. Найти площадь треугольника АСЕ (средствами векторной алгебры).

Задание относится к векторной алгебре, необходимо найти площадь треугольника ACE, зная координаты вершин треугольника ABC и то, что точка E делит сторону AB пополам.

Координаты точки E - это полусумма координат точек A и B.

E = ((-1 + (-1))/2; (4 + 20)/2; (3 + 13)/2) = (-1; 12; 8)

Найдем координаты векторов AC и AE.

AC = (-1 - (-1); 10 - 4; 7 - 3) = (0; 6; 4)

AE = (-1 - (-1); 12 - 4; 8 - 3) = (0; 8; 5)

Площадь треугольника ACE равна половине модуля векторного произведения векторов AC и AE.

Найдем векторное произведение векторов AC и AE:

$$\vec{c} = \vec{AC} \times \vec{AE} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 0 & 6 & 4 \\ 0 & 8 & 5 \end{vmatrix} = (30 - 32)i - (0 - 0)j + (0 - 0)k = -2i - 0j + 0k$$

Векторное произведение с = (-2; 0; 0)

Модуль векторного произведения:

$$|\vec{c}| = \sqrt{(-2)^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2$$

Площадь треугольника ACE равна половине модуля векторного произведения векторов AC и AE, то есть S = 1/2 * 2 = 1.

Ответ: 1