17. Даны точки A (1; 2; 0) , B(3; 0; -3) И C (5; 2; 6). Вычислить площадь треугольника и высоту, опущенную из вершины С (средствами векторной алгебры).

Задание относится к векторной алгебре, необходимо вычислить площадь треугольника и высоту, опущенную из вершины C, зная координаты вершин треугольника ABC.

Найдем координаты векторов CA и CB.

CA = (1 - 5; 2 - 2; 0 - 6) = (-4; 0; -6)

CB = (3 - 5; 0 - 2; -3 - 6) = (-2; -2; -9)

Площадь треугольника ABC равна половине модуля векторного произведения векторов CA и CB.

Найдем векторное произведение векторов CA и CB:

$$\vec{c} = \vec{CA} \times \vec{CB} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ -4 & 0 & -6 \\ -2 & -2 & -9 \end{vmatrix} = (0 - 12)i - (36 - 12)j + (8 - 0)k = -12i - 24j + 8k$$

Векторное произведение с = (-12; -24; 8)

Модуль векторного произведения:

$$|\vec{c}| = \sqrt{(-12)^2 + (-24)^2 + 8^2} = \sqrt{144 + 576 + 64} = \sqrt{784} = 28$$

Площадь треугольника равна половине модуля векторного произведения векторов CA и CB, то есть S = 1/2 * 28 = 14.

Найдем длину стороны AB. AB = (3-1, 0-2, -3-0) = (2, -2, -3)

$$|\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 4 + 9} = \sqrt{17}$$

Высота h, опущенная из вершины C на сторону AB, равна:

$$h = \frac{2S}{|\vec{AB}|} = \frac{2 \cdot 14}{\sqrt{17}} = \frac{28}{\sqrt{17}} = \frac{28\sqrt{17}}{17}$$

Ответ: Площадь 14, высота $$\frac{28\sqrt{17}}{17}$$