6. Дано: ACBD – ромб, AD = 8, ∠DAC= 120°, CF 1 (ABC), CF=4.

Для решения задачи необходимо воспользоваться теоремой о трех перпендикулярах. Расстояние от точки F до прямой AB будет равно длине отрезка FM, где FM перпендикулярно AB.

1) Так как ACBD - ромб, то AD = CD = CB = BA = 8. Угол DAC = 120 градусов, тогда угол DAB = 60 градусов, а это означает что трегольник ADB - равносторонний, и все его стороны равны 8.

2) Проведем высоту DM в равностороннем треугольнике ADB. Она будет являться и медианой, то есть AM = MB = 4. Длина высоты равна $$DM = AD \cdot sin(60) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$$.

3) Так как CF перпендикулярно (ABC), то CF перпендикулярно DM. Рассмотрим прямоугольный треугольник CFM. По теореме Пифагора, $$FM = \sqrt{CF^2 + DM^2} = \sqrt{4^2 + (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 + 16 \cdot 3} = \sqrt{16 + 48} = \sqrt{64} = 8$$.

Ответ: 8