11. Дано: ДАВС, АВ = 21, AC = 17, CB=10, CF 1 (ABC), CF = 15.

Для решения задачи необходимо воспользоваться теоремой о трех перпендикулярах. Расстояние от точки F до прямой AB будет равно длине отрезка FM, где FM перпендикулярно AB.

1) Для нахождения высоты CM треугольника ABC, опущенной на сторону AB, воспользуемся формулой Герона. Сначала найдем полупериметр: $$p = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{21 + 17 + 10}{2} = \frac{48}{2} = 24$$.

2) Площадь треугольника ABC равна $$S = \sqrt{p(p-AB)(p-AC)(p-BC)} = \sqrt{24(24-21)(24-17)(24-10)} = \sqrt{24 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 14} = \sqrt{24 \cdot 3 \cdot 98} = \sqrt{7056} = 84$$.

3) С другой стороны, площадь треугольника можно выразить через основание и высоту: $$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CM$$. Отсюда, $$84 = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot CM$$, откуда $$CM = \frac{84 \cdot 2}{21} = 8$$.

4) Так как CF перпендикулярно (ABC), то CF перпендикулярно CM. Рассмотрим прямоугольный треугольник CFM. По теореме Пифагора, $$FM = \sqrt{CF^2 + CM^2} = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17$$.

Ответ: 17