9. Дано: АВ ⊥α, ∠ACB = = ∠ADB = 30°, ∠CAD = 60°, г= √3 (радиус окружности, вписанной в ΔАСD). Найдите АВ.

Т.к. АВ перпендикулярна плоскости α, то треугольники АВС и ABD - прямоугольные. Т.к. угол АСВ = углу ADB = 30°, то АС = AD = AB/tg(30°) = AB/(1/√3) = AB√3.

Т.к. в треугольнике CAD все стороны равны, то AC = AD = CD. Т.е. AC = AD = CD = AB√3.

Высота равностороннего треугольника равна произведению стороны треугольника на корень из трёх, деленному на два, и равна трем радиусам вписанной окружности.

Тогда 3r = AC√3/2 = AB√3*√3/2 = 3AB/2, отсюда AB = 2r = 2√3.

Ответ: АВ = 2√3