7. Дано: АВ ⊥ а, ∠CAD = 90°, R = 6 (радиус окружности, описанной около ΔАСD), ∠ADC=30°, ∠ACB=45°. Найдите АВ.

Рассмотрим треугольник ACD. Т.к. угол CAD = 90°, то CD - диаметр окружности, описанной около треугольника ACD. => CD = 2R = 12.

По теореме синусов: CD/sin(CAD) = AC/sin(ADC). AC = CD*sin(ADC)/sin(CAD) = 12*sin(30°)/sin(90°) = 12*(1/2)/1 = 6.

Рассмотрим треугольник АВС. Т.к. АВ перпендикулярна плоскости α, то треугольник АВС - прямоугольный. Т.к. угол АСВ = 45°, то треугольник АВС - равнобедренный, АВ = ВС.

По теореме Пифагора: АС² = АВ² + ВС² = 2АВ². АВ = АС/√2 = 6/√2 = 3√2.

Ответ: АВ = 3√2