12. Дано: АВ ⊥ α, BC = BD, ∠BCD=60°, ∠BDF = 60°, DF=8, AF=√269, CD = 15. Найдите АВ.

1) Рассмотрим ΔCDF: ∠CDF = 180°- ∠BDF = 180°-60° = 120°. По теореме косинусов CF² = CD²+DF²-2∙CD∙DF∙cos∠CDF = 225+64-2∙15∙8∙(-1/2) = 289+120=409.

2) Рассмотрим ΔACF: По теореме косинусов AC² = AF²+CF²-2∙AF∙CF∙cos∠AFC = 269+409-2∙√269∙√409∙cos∠AFC = 678-2∙√269∙√409∙cos∠AFC.

3) Рассмотрим ΔBCD - равнобедренный, т.к. ВС=BD, значит, ∠BCD = ∠BDC = 60° ⇒ ΔBCD - равносторонний (все углы по 60°). Тогда BC=BD=CD=15.

4) Рассмотрим ΔABC - прямоугольный, т.к. АВ ⊥ α, то АВ ⊥ ВС. Тогда АВ² = АС²-ВС² = 678-2∙√269∙√409∙cos∠AFC-225 = 453-2∙√269∙√409∙cos∠AFC.

К сожалению, недостаточно данных, чтобы определить АВ.

Ответ: недостаточно данных