2. Дано: АВ ⊥α, AC = AD = =CD=2, ∠ACB=45°. Найдите ∠CBD.

1) Рассмотрим ΔABC - прямоугольный (т.к. АВ ⊥ α, то АВ ⊥ ВС). ∠ACB = 45°, AC = 2. Тогда АВ = АС∙sin(45°) = 2∙√2/2 = √2.

2) Рассмотрим ΔABD - прямоугольный (т.к. АВ ⊥ α, то АВ ⊥ BD). AD = 2, АВ = √2. Тогда cos ∠ADB = BD/AD => BD = √(AD²-AB²) = √(4-2) = √2.

3) Рассмотрим ΔCBD, в нём CD = 2, BD = √2, ВС = √2. Значит, ΔCBD - равнобедренный, CB=BD, а значит, углы при основании равны. Т.е. ∠BCD = ∠BDC.

4) Найдём угол ∠CBD = 180°-2∠BCD. cos ∠BCD = BC/CD = √2/2 => ∠BCD = 45°. ∠CBD = 180°-2∙45° = 90°.

Ответ: ∠CBD = 90°