8. Дано: АВ ⊥ α, ∠ACB = = ∠ADB = 45°, ∠CAD = 60°, R = 2√3 (радиус окружности, описанной около ΔACD). Найдите АВ.

Т.к. АВ перпендикулярна плоскости α, то треугольники АВС и ABD - прямоугольные. Т.к. угол АСВ = углу ADB = 45°, то треугольники АВС и ABD - равнобедренные, а значит, АВ = ВС = BD.

Рассмотрим треугольник CAD. По теореме синусов: CD/sin(CAD) = 2R. CD = 2R*sin(CAD) = 2*2√3*sin(60°) = 4√3*√3/2 = 6.

По теореме косинусов: CD² = AC² + AD² - 2*AC*AD*cos(CAD). 36 = AC² + AD² - 2*AC*AD*cos(60°).

Т.к. АС = AD, то 36 = 2АС² - 2АС²*1/2 = АС². АС = 6.

Рассмотрим треугольник АВС. По теореме Пифагора: АС² = АВ² + ВС². 36 = АВ² + АВ² = 2АВ². АВ = √18 = 3√2.

Ответ: АВ = 3√2