6. Диагональ ES ромба EFSA равна 96, a tg ∠FSE = \frac{7}{24}. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Ответ: 672/25

1. Пусть ES = d1 = 96. tg(∠FSE) = \frac{7}{24}. Так как диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то тангенс угла FSE = \frac{1}{2}FA / \frac{1}{2}ES. \frac{7}{24} = \frac{FA}{ES} => FA = ES \cdot \frac{7}{24} = 96 \cdot \frac{7}{24} = 28.
2. Диагональ FA = d2 = 2 \cdot FA = 2 \cdot 28 = 56.
3. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: S = \frac{1}{2} d1 d2 = \frac{1}{2} \cdot 96 \cdot 56 = 2688.
4. Сторона ромба: a = \sqrt{(\frac{d1}{2})^2 + (\frac{d2}{2})^2} = \sqrt{48^2 + 28^2} = \sqrt{2304 + 784} = \sqrt{3088} = 4 \sqrt{193}.
5. Площадь ромба равна произведению стороны на высоту: S = a \cdot h => h = \frac{S}{a} = \frac{2688}{4 \sqrt{193}} = \frac{672}{\sqrt{193}}.
6. Радиус окружности, вписанной в ромб: r = \frac{1}{2} h = \frac{1}{2} \cdot \frac{672}{\sqrt{193}} = \frac{336}{\sqrt{193}}.

Ответ: 336/\sqrt{193}