232 Диагональ прямоугольного параллелепипеда, равная д, образует с плоскостью основания угол ф, а с одной из боковых граней угол х. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Пусть прямоугольный параллелепипед имеет стороны основания a и b, высоту h. Тогда диагональ основания равна $$d_{осн} = \sqrt{a^2 + b^2}$$, а диагональ параллелепипеда равна d.

Из условия, диагональ образует с плоскостью основания угол φ, поэтому

$$ h = d \sin φ$$

$$ d_{осн} = d \cos φ$$

Обозначим площадь одной из боковых граней как $$S_1 = a \cdot h$$ Тогда $$\sin(x) = \frac{a}{d}$$, отсюда $$a = d \sin x $$

Площадь боковой поверхности $$ S_{бок} = 2(a+b)h = 2(d \sin x + b)d\sin φ$$.

Так как $$ b = \sqrt{d^2 \cos^2 φ - d^2 \sin^2 x} = d \sqrt{\cos^2 φ - \sin^2 x}$$, то

$$ S_{бок} = 2d \sin φ (d \sin x + d \sqrt{\cos^2 φ - \sin^2 x}) = 2d^2 \sin φ(\sin x + \sqrt{\cos^2 φ - \sin^2 x})$$.

Ответ: $$2d^2 \sin φ(\sin x + \sqrt{\cos^2 φ - \sin^2 x})$$