228 Основанием наклонной призмы АВСА1В1С1 является равнобедрен- ный треугольник АВС, в котором АС = АВ = 13 см, ВС = 10 см, а боковое ребро призмы образует с плоскостью основания угол в 45°. Проекцией вершины А₁ является точка пересечения медиан треугольника АВС. Найдите площадь грани СС1В1В.

Площадь грани СС₁В₁В равна произведению длины стороны ВС на высоту грани.

Пусть длина ребра равна h. Тогда высота грани $$CC_1B_1B = h \sin45$$

Спроектируем AA1 на плоскость основания, получим точку O — точку пересечения медиан ABC. Так как в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию является высотой. Высота равна $$\sqrt{13^2 - 5^2} = 12$$. Медиана делится в отношении 2:1, значит AO = 8 см. Так как угол AA1O = 45, то $$h = 8\sqrt{2}$$ см.

Тогда площадь боковой грани:

$$ S = 10 \cdot 8\sqrt{2} = 80\sqrt{2} см^2 $$

Ответ: $$80\sqrt{2} см^2$$