227 Основание призмы — правильный треугольник АВС. Боковое реб- ро АА₁ образует равные углы со сторонами основания АС И АВ. Докажите, что: а) ВС 1 АА₁; б) СС₁В1В — прямоугольник.

a) Поскольку боковое ребро AA₁ образует равные углы со сторонами основания AC и AB, проекция ребра AA₁ на плоскость основания лежит на биссектрисе угла CAB. Так как треугольник ABC правильный, то биссектриса угла CAB является также медианой и высотой. Значит, проекция ребра AA₁ лежит на высоте, опущенной из вершины A на сторону BC. Обозначим эту высоту AH. Следовательно, AH является проекцией ребра AA₁ на плоскость основания, а значит, AA₁ перпендикулярно BC.

б) Доказать, что CC₁B1B — прямоугольник:

CC₁ || BB₁ по определению призмы. BB₁B₁C₁ = 90, т.к. BB₁ перпендикулярно ABC. CC₁ перпендикулярно ABC . Значит CC₁ перпендикулярно BC, BB₁B₁C₁ = 90. Следовательно, CC₁B₁B — прямоугольник

Ответ: доказано