111 Докажите, что диагональ параллелепипеда меньше суммы трёх рё- бер, имеющих общую вершину.

Пусть дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Рассмотрим диагональ AC₁ и три ребра, имеющие общую вершину A: AB, AD и AA₁.

Докажем, что AC₁ < AB + AD + AA₁.

По правилу параллелепипеда, $$\vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}$$.

По неравенству треугольника, длина суммы векторов меньше или равна сумме длин этих векторов:

$$|\vec{AC_1}| = |\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}| ≤ |\vec{AB}| + |\vec{AD}| + |\vec{AA_1}|$$

$$AC_1 < AB + AD + AA_1$$

Таким образом, диагональ параллелепипеда AC₁ меньше суммы длин трех ребер, имеющих общую вершину A.

Ответ: Диагональ параллелепипеда меньше суммы трёх рёбер, имеющих общую вершину.