109 Две плоскости, каждая из которых содержит два боковых ребра параллелепипеда, не принадлежащих одной грани, пересекаются по прямой а. Докажите, что прямая а параллельна боковым рёб- рам параллелепипеда и пересекает все его диагонали.

Пусть дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Рассмотрим две плоскости, каждая из которых содержит два боковых ребра, не принадлежащих одной грани. Например, плоскость AA₁C₁C и плоскость BB₁D₁D. Они пересекаются по прямой a.

Докажем, что прямая a параллельна боковым ребрам параллелепипеда.

Плоскость AA₁C₁C содержит боковые ребра AA₁ и CC₁, следовательно, она параллельна этим ребрам. Аналогично, плоскость BB₁D₁D содержит боковые ребра BB₁ и DD₁, следовательно, она параллельна этим ребрам.

Так как плоскости AA₁C₁C и BB₁D₁D содержат параллельные боковые ребра, то линия их пересечения (прямая a) параллельна этим ребрам. Следовательно, прямая a параллельна боковым ребрам параллелепипеда.

Докажем, что прямая a пересекает все диагонали параллелепипеда.

Диагонали параллелепипеда: AC₁, CA₁, BD₁, DB₁, A₁C, C₁A, B₁D, D₁B.

Прямая a проходит через центр параллелепипеда (точку пересечения диагоналей), так как является осью симметрии. Все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке - центре параллелепипеда. Следовательно, прямая a пересекает все диагонали параллелепипеда в их середине.

Ответ: Прямая а параллельна боковым рёбрам параллелепипеда и пересекает все его диагонали.