110 Докажите, что в параллелепипеде ABCDA1B1C1D₁ плоскость А₁DB параллельна плоскости Д₁CB1.

Доказательство:

Рассмотрим параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ и плоскости A₁DB и D₁CB₁.

1. Покажем, что плоскость A₁DB параллельна плоскости D₁CB₁.

2. Рассмотрим векторы, лежащие в плоскости A₁DB: $$\vec{A_1D}$$, $$\vec{A_1B}$$

3. Рассмотрим векторы, лежащие в плоскости D₁CB₁: $$\vec{D_1C}$$, $$\vec{D_1B_1}$$

4. $$\vec{A_1D} = \vec{A_1A} + \vec{AD} = -\vec{AA_1} + \vec{AD}$$

$$\vec{A_1B} = \vec{A_1A} + \vec{AB} = -\vec{AA_1} + \vec{AB}$$

$$\vec{D_1C} = \vec{D_1D} + \vec{DC} = -\vec{DD_1} + \vec{DC} = -\vec{AA_1} + \vec{AB}$$

$$\vec{D_1B_1} = \vec{D_1D} + \vec{DB_1} = -\vec{DD_1} + \vec{DB_1}$$

5. Заметим, что $$\vec{A_1B} = \vec{D_1C}$$. Это означает, что прямые A₁B и D₁C параллельны.

6. Докажем, что прямые A₁D и B₁C параллельны. Рассмотрим четырехугольник A₁DСB₁. A₁D || B₁C и A₁B₁ || DC. Значит A₁DСB₁ - параллелограмм.

7. Так как две пересекающиеся прямые одной плоскости (A₁D и A₁B) соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости (B₁C и D₁C), то плоскости A₁DB и D₁CB₁ параллельны.

Ответ: Плоскость A₁DB параллельна плоскости D₁CB₁.