112 Докажите, что сумма квадратов четырёх диагоналей параллелепи- педа равна сумме квадратов двенадцати его рёбер.

Пусть дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁.

Диагонали параллелепипеда: AC₁, CA₁, BD₁, DB₁.

Обозначим длины ребер: AB = a, AD = b, AA₁ = c.

Квадрат диагонали параллелепипеда выражается формулой: $$AC_1^2 = AB^2 + AD^2 + AA_1^2 + 2(AB \cdot AD \cdot cos(\angle BAD) + AB \cdot AA_1 \cdot cos(\angle BAA_1) + AD \cdot AA_1 \cdot cos(\angle DAA_1))$$

Для прямоугольного параллелепипеда, углы между ребрами прямые, и формула упрощается:

$$AC_1^2 = a^2 + b^2 + c^2$$

Т.к. все диагонали параллелепипеда равны по длине: $$AC_1 = CA_1 = BD_1 = DB_1$$, то сумма квадратов четырёх диагоналей равна:

$$AC_1^2 + CA_1^2 + BD_1^2 + DB_1^2 = 4(a^2 + b^2 + c^2)$$

В параллелепипеде 12 ребер, которые можно разделить на три группы по 4 ребра: AB = CD = A₁B₁ = C₁D₁ = a, AD = BC = A₁D₁ = B₁C₁ = b, AA₁ = BB₁ = CC₁ = DD₁ = c.

Сумма квадратов двенадцати ребер: 4a² + 4b² + 4c² = 4(a² + b² + c²)

Таким образом, сумма квадратов четырёх диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов двенадцати его рёбер.

Ответ: Сумма квадратов четырёх диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов двенадцати его рёбер.