103 На рёбрах DA, DB и DC тетраэдра DABC отмечены точки М, № и Р так, что DM: MA=DN: NB=DP: РС. Докажите, что плоско- сти МИР и АВС параллельны. Найдите площадь треугольника МИР, если площадь треугольника АВС равна 10 см² и DM: МА = = 2:1.

Доказательство параллельности плоскостей MNP и ABC:

По условию, DM:MA = DN:NB = DP:PC. Это означает, что точки M, N, P делят рёбра DA, DB, DC в одинаковом отношении. Рассмотрим векторы:

• Пусть $$\vec{DA} = \vec{a}$$, $$\vec{DB} = \vec{b}$$, $$\vec{DC} = \vec{c}$$.
• Тогда $$\vec{DM} = k \vec{DA} = k \vec{a}$$, $$\vec{DN} = k \vec{DB} = k \vec{b}$$, $$\vec{DP} = k \vec{DC} = k \vec{c}$$, где k = DM/DA = DN/DB = DP/DC.

Рассмотрим векторы $$\vec{MN}$$ и $$\vec{MP}$$:

• $$\vec{MN} = \vec{DN} - \vec{DM} = k\vec{b} - k\vec{a} = k(\vec{b} - \vec{a}) = k\vec{AB}$$
• $$\vec{MP} = \vec{DP} - \vec{DM} = k\vec{c} - k\vec{a} = k(\vec{c} - \vec{a}) = k\vec{AC}$$

Так как $$\vec{MN} = k\vec{AB}$$ и $$\vec{MP} = k\vec{AC}$$, векторы $$\vec{MN}$$ и $$\vec{AB}$$ коллинеарны, а также векторы $$\vec{MP}$$ и $$\vec{AC}$$ коллинеарны. Это означает, что прямые MN и AB параллельны, а также прямые MP и AC параллельны. Следовательно, плоскость MNP параллельна плоскости ABC.

Найдем площадь треугольника MNP:

Поскольку DM:MA = 2:1, то DM/DA = 2/(2+1) = 2/3. Значит, k = 2/3.

Площадь треугольника MNP относится к площади треугольника ABC как k^2:

S(MNP) / S(ABC) = k^2 = (2/3)^2 = 4/9

S(MNP) = (4/9) * S(ABC) = (4/9) * 10 = 40/9 ≈ 4.44 см².

Ответ: Плоскости MNP и ABC параллельны. Площадь треугольника MNP равна 40/9 см².