102 Докажите, что плоскость с, проходящая через середины двух рёбер основания тетраэдра и вершину, не принадлежащую основанию, параллельна третьему ребру основания. Найдите периметр и пло- щадь сечения тетраэдра плоскостью а, если длины всех рёбер те- траэдра равны 20 см.

Доказательство:

Пусть дан тетраэдр DABC, где ABC - основание. Пусть плоскость α проходит через середины ребер AB и AC (пусть это точки M и N соответственно) и вершину D. Требуется доказать, что плоскость α параллельна ребру BC.

Отрезок MN является средней линией треугольника ABC, следовательно, MN || BC. Так как прямая MN лежит в плоскости α, и MN || BC, то плоскость α параллельна прямой BC, что и требовалось доказать.

Теперь найдем периметр и площадь сечения тетраэдра плоскостью α, если все ребра тетраэдра равны 20 см.

Сечение тетраэдра DABC плоскостью α будет представлять собой треугольник DMN. Так как M и N - середины ребер AB и AC, то DM = DN (так как треугольники ADB и ADC равны, поскольку DA = DB = DC = 20 см, и AB = AC = 20 см).

Найдем длины сторон треугольника DMN:

• MN = 1/2 * BC (так как MN - средняя линия треугольника ABC) = 1/2 * 20 = 10 см.
• DM = DN. Рассмотрим треугольник ADB. DM - медиана. Так как DA = DB, то медиана DM также является высотой и биссектрисой. Высота равностороннего треугольника со стороной 20 см равна 20 * √3 / 2 = 10√3 см. Следовательно, DM = DN = 10√3 см.

Таким образом, треугольник DMN - равнобедренный со сторонами 10 см, 10√3 см и 10√3 см.

Периметр треугольника DMN равен P = 10 + 10√3 + 10√3 = 10 + 20√3 ≈ 10 + 20 * 1.732 = 10 + 34.64 = 44.64 см.

Для нахождения площади треугольника DMN воспользуемся формулой Герона: p = (10 + 10√3 + 10√3) / 2 = 5 + 10√3. S = √[p(p - a)(p - b)(p - c)] = √[(5 + 10√3)(5 + 10√3 - 10)(5 + 10√3 - 10√3)(5 + 10√3 - 10√3)] = √[(5 + 10√3)(-5 + 10√3)(5)(5)] = 25√[(2√3 + 1)(2√3 - 1)] = 25√(12 - 1) = 25√11 ≈ 25 * 3.317 = 82.925 см².

Ответ: Плоскость α параллельна ребру BC. Периметр сечения равен 10 + 20√3 см. Площадь сечения равна 25√11 см².