108 В тетраэдре DABC биссектрисы трёх углов при вершине D пере- секают отрезки ВС, СА и АВ соответственно в точках А1, В1 и С1. Докажите, что отрезки АА1, ВВ₁ и СС₁ пересекаются в одной точке.

Для доказательства данного утверждения можно воспользоваться теоремой Чевы. Теорема Чевы гласит, что в треугольнике ABC отрезки AA₁, BB₁, CC₁, где A₁, B₁, C₁ — точки на сторонах BC, CA, AB соответственно, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется равенство:

$$\frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} = 1$$

В данном случае, отрезки DA₁, DB₁, DC₁ являются биссектрисами углов BDC, CDA и ADB соответственно.

По свойству биссектрисы треугольника, биссектриса угла делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Следовательно:

• В треугольнике BDC: $$\frac{BA_1}{A_1C} = \frac{BD}{DC}$$
• В треугольнике CDA: $$\frac{CB_1}{B_1A} = \frac{CD}{DA}$$
• В треугольнике ADB: $$\frac{AC_1}{C_1B} = \frac{AD}{DB}$$

Перемножим эти отношения:

$$\frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} = \frac{AD}{DB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CD}{DA} = \frac{AD \cdot BD \cdot CD}{DB \cdot DC \cdot DA} = 1$$

Таким образом, условие теоремы Чевы выполняется, и отрезки AA₁, BB₁, CC₁ пересекаются в одной точке.

Ответ: Отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.