267 Докажите, что два остроугольных треугольника равны, если сторона и высоты, проведенные из концов этой стороны, од ного треугольника соответственно равны стороне и высотам, проведенным из концов этой стороны, другого треугольника.

Пусть даны остроугольные треугольники ABC и A₁B₁C₁, в которых AB = A₁B₁, высоты CC₁ = C₁C₂ и AA₁ = A₁A₂. Нужно доказать, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны.

Рассмотрим прямоугольные треугольники ACC₁ и A₁C₁C₂. В них:

• CC₁ = C₁C₂ (по условию)
• AA₁ = A₁A₂ (по условию)
• ∠AC₁C = ∠A₁C₂C₁ = 90° (высоты)

AC₁ = √(AC² - CC₁²) = √(BC² - CC₁²) = BC₁. Следовательно, прямоугольные треугольники AA₁C и CC₁B равны, так как AC₁ = BC₁ и ∠ACC₁ = ∠BCC₁ (по условию), а углы между основанием и высотами составляют 90°, значит, углы, образованные боковыми сторонами тоже равны. Значит, CC₁ = AA₁. Cледовательно, AC= BC

Следовательно, треугольники ACC₁ и A₁C₁C₂ равны по катету и гипотенузе. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠CAB = ∠CBA=∠C₁A₁B₁=∠C₁B₁A₁.

Так как AA₁ = CC₁, CC₁ = BB₁, и AB = A₁B₁ (по условию), следовательно, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по двум сторонам и углу между ними.

Ответ: Доказано