262 В треугольниках АВС и А,В,С, углы А И А прямые, BD и В,Д, - биссектрисы. Докажите, что ДАВС = ДА,В,С, если ∠B = ∠B₁ и BD = B₁D₁.

Пусть даны треугольники ABC и A₁B₁C₁, в которых ∠A = ∠A₁ = 90°, BD и B₁D₁ - биссектрисы, ∠B = ∠B₁ и BD = B₁D₁. Нужно доказать, что ΔABC = ΔA₁B₁C₁.

Рассмотрим треугольники ABD и A₁B₁D₁. В них:

• ∠A = ∠A₁ = 90°
• ∠ABD = ∠A₁B₁D₁ (так как BD и B₁D₁ - биссектрисы и ∠B = ∠B₁)
• BD = B₁D₁ (по условию)

Следовательно, треугольники ABD и A₁B₁D₁ равны по катету и прилежащему острому углу. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов и сторон: ∠ADB = ∠A₁D₁B₁ и AB = A₁B₁.

Так как ∠B = ∠B₁ и ∠ADB = ∠A₁D₁B₁, то ∠C = ∠C₁ (сумма углов треугольника равна 180°). Следовательно, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по стороне и двум прилежащим углам (AB = A₁B₁, ∠B = ∠B₁, ∠C = ∠C₁).

Ответ: Доказано