257 В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С внешний угол при вершине А равен 120°, AC + АВ = 18 см. Найдите АС и АВ.

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C внешний угол при вершине A равен 120°. Значит, внутренний угол при вершине A равен:

$$∠A = 180° - 120° = 60°$$

Так как сумма углов треугольника равна 180°, то угол B равен:

$$∠B = 180° - 90° - 60° = 30°$$

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. Следовательно, AC - это катет, прилежащий к углу A, и AB - гипотенуза. По условию:

$$AC + AB = 18 \text{ см}$$

Обозначим AC за x, тогда AB = 2x. Получаем уравнение:

$$x + 2x = 18$$ $$3x = 18$$ $$x = \frac{18}{3} = 6 \text{ см}$$

Тогда AC = 6 см, AB = 2 * 6 = 12 см.

Ответ: AC = 6 см, AB = 12 см