133 Докажите, что если биссектриса треугольника является его высотой, то треугольник – равнобедренный.

Пусть в треугольнике ABC биссектриса угла A является также высотой.

Это означает, что биссектриса угла A перпендикулярна стороне BC, и пусть точка пересечения биссектрисы и стороны BC будет точка D.

Тогда AD - биссектриса и высота в треугольнике ABC.

Рассмотрим треугольники ABD и ACD.

AD - общая сторона.

∠BAD = ∠CAD, так как AD - биссектриса угла A.

∠ADB = ∠ADC = 90°, так как AD - высота.

Следовательно, треугольники ABD и ACD равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам).

Из равенства треугольников следует, что AB = AC.

Таким образом, треугольник ABC равнобедренный (так как AB = AC).

Ответ: Если биссектриса треугольника является его высотой, то треугольник – равнобедренный.