136 На рисунке 52 (см. с. 31) АВ = AC, BD = DC И ВАС = 50°. Найдите ∠CAD.

Рассмотрим треугольник ABC. Так как AB = AC, то треугольник ABC - равнобедренный, и углы при основании равны: ∠ABC = ∠ACB.

Сумма углов в треугольнике равна 180°. Следовательно:

∠ABC + ∠ACB + ∠BAC = 180°

Так как ∠ABC = ∠ACB, то 2∠ABC + ∠BAC = 180°

2∠ABC = 180° - ∠BAC

∠ABC = (180° - ∠BAC) / 2

По условию ∠BAC = 50°, следовательно:

∠ABC = (180° - 50°) / 2 = 130° / 2 = 65°

∠ABC = ∠ACB = 65°

Теперь рассмотрим треугольник BCD. Так как BD = DC, то треугольник BCD - равнобедренный, и углы при основании равны: ∠DBC = ∠DCB.

Сумма углов в треугольнике BDC равна 180°. Следовательно:

∠DBC + ∠DCB + ∠BDC = 180°

Так как ∠DBC = ∠DCB, то 2∠DBC + ∠BDC = 180°

∠DCB = ∠ACB = 65°

∠ACD = ∠ACB - ∠DCB = 65° - ∠DCB

∠CAD = ∠BAC - ∠BAD

∠CAD = 50° - ∠BAD

Нужно найти угол ∠BAD.

∠BAD = ∠BAC - ∠CAD

Пусть ∠CAD = x

Тогда ∠BAD = 50° - x

∠CAD = ∠BAC - ∠BAD

∠BAD = 1/2 ∠BAC

∠CAD = 1/2 ∠BAC = 1/2 * 50° = 25°

Ответ: ∠CAD = 25°.