11 Докажите, что катет прямоугольного треугольника, лежащи против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Сформулиру те и докажите обратное утверждение.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C, ∠A = 30°. Нужно доказать, что катет BC равен половине гипотенузы AB.

Отложим на продолжении катета BC отрезок CD, равный BC. Получим треугольник ABD. Так как ∠A = 30°, то ∠B = 90° - 30° = 60°. Треугольник ABD равнобедренный (AC - высота и медиана), значит, AC - биссектриса угла A, и ∠BAD = ∠CAD = 30°. Тогда ∠ABD = 60°, и все углы треугольника ABD равны 60°, следовательно, треугольник ABD равносторонний.

Так как BC = CD, то BC = BD/2 = AB/2, то есть катет BC равен половине гипотенузы AB.

Обратное утверждение: Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C, и катет BC = AB/2. Нужно доказать, что ∠A = 30°.

Отложим на продолжении катета BC отрезок CD, равный BC. Тогда BC = CD = AB/2. Рассмотрим треугольник ABD. Так как треугольник ABC равен треугольнику ADC (по двум катетам), то AB = AD.

Треугольник ABD равносторонний (AB = AD = BD = 2BC), и все его углы равны 60°. Следовательно, ∠ABD = 60°. Так как ∠ABC = 90°, то ∠BAC = 180° - 90° - 60° = 30°.

Ответ: доказано.