11 Докажите, что катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Сформулируй- те и докажите обратное утверждение.

Пусть в прямоугольном треугольнике ABC угол A равен 30°. Тогда катет BC, лежащий против этого угла, равен половине гипотенузы AB.

Обратное утверждение: Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.

Доказательство:

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, в котором угол C равен 90° и катет BC равен половине гипотенузы AB. Докажем, что угол A равен 30°.

Продолжим катет BC на отрезок CD, равный BC. Получим треугольник ABD, в котором BD = 2BC = AB. Следовательно, треугольник ABD равносторонний, и все его углы равны 60°. Тогда угол A равен 60° / 2 = 30°.

Ответ: доказано