15 Докажите, что при пересечении двух параллельных прямых секущей: а) соответственные углы равны; б) сумма односторонних углов равна 180°.

а) Доказательство равенства соответственных углов:

1. Пусть даны две параллельные прямые a и b, пересеченные секущей c.
2. Обозначим соответственные углы, образованные при пересечении прямых a и b секущей c, как ∠1 и ∠2.
3. Рассмотрим угол ∠3, который является вертикальным углом к углу ∠1. Вертикальные углы равны, поэтому ∠3 = ∠1.
4. Углы ∠3 и ∠2 являются накрест лежащими углами при пересечении прямых a и b секущей c.
5. Поскольку накрест лежащие углы равны при пересечении параллельных прямых секущей, то ∠3 = ∠2.
6. Таким образом, так как ∠3 = ∠1 и ∠3 = ∠2, то ∠1 = ∠2.
7. Следовательно, соответственные углы равны.

б) Доказательство суммы односторонних углов, равной 180°:

1. Пусть даны две параллельные прямые a и b, пересеченные секущей c.
2. Обозначим односторонние углы, образованные при пересечении прямых a и b секущей c, как ∠4 и ∠5.
3. Рассмотрим угол ∠6, который является смежным углом к углу ∠4. Сумма смежных углов равна 180°, поэтому ∠4 + ∠6 = 180°.
4. Углы ∠6 и ∠5 являются накрест лежащими углами при пересечении прямых a и b секущей c.
5. Поскольку накрест лежащие углы равны при пересечении параллельных прямых секущей, то ∠6 = ∠5.
6. Таким образом, так как ∠4 + ∠6 = 180° и ∠6 = ∠5, то ∠4 + ∠5 = 180°.
7. Следовательно, сумма односторонних углов равна 180°.

Ответ: При пересечении параллельных прямых секущей соответственные углы равны; сумма односторонних углов равна 180° (доказано).