217 Прямые, содержащие высоты АА, и ВВ, треугольника АВС, пересекаются в точке Н, угол В тупой, ∠C= 20°. Найдите угол АНВ.

Для решения данной задачи необходимо воспользоваться свойствами треугольников и высот, а также теоремой о сумме углов треугольника.

1. Поскольку угол B тупой, точка H (ортоцентр) лежит вне треугольника ABC.
2. Угол C равен 20°.
3. Рассмотрим четырехугольник CA₁HB₁, где A₁ и B₁ - основания высот, опущенных из вершин A и B соответственно.
4. В четырехугольнике CA₁HB₁ углы CA₁H и CB₁H прямые (так как AA₁ и BB₁ - высоты). Значит, ∠CA₁H = 90° и ∠CB₁H = 90°.
5. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°. Следовательно, ∠C + ∠A₁HB₁ + ∠CA₁H + ∠CB₁H = 360°.
6. Подставим известные значения: 20° + ∠A₁HB₁ + 90° + 90° = 360°.
7. Получаем: ∠A₁HB₁ = 360° - 20° - 90° - 90° = 160°.
8. Угол AHB является смежным с углом A₁HB₁. Значит, ∠AHB + ∠A₁HB₁ = 180°.
9. Следовательно, ∠AHB = 180° - ∠A₁HB₁ = 180° - 160° = 20°.

Ответ: ∠AHB = 20°.