216 Две параллельные прямые пересечены секущей. Докажите, что: а) биссектрисы накрест лежащих углов параллельны; б) биссектрисы односторонних углов перпендикулярны.

Для доказательства этих утверждений необходимо воспользоваться свойствами параллельных прямых и секущей, а также определениями биссектрис и перпендикулярности.

1. Доказательство пункта а):
• Пусть даны две параллельные прямые a и b, пересеченные секущей c.
• Рассмотрим накрест лежащие углы, образованные при пересечении прямых a и b секущей c. Обозначим эти углы как ∠1 и ∠2.
• По свойству параллельных прямых и секущей, накрест лежащие углы равны: ∠1 = ∠2.
• Проведем биссектрисы этих углов. Обозначим их как l1 и l2.
• Так как l1 и l2 - биссектрисы, они делят углы ∠1 и ∠2 пополам соответственно. Значит, углы, образованные биссектрисами с секущей c, равны половине углов ∠1 и ∠2.
• Пусть ∠3 - угол между l1 и c, а ∠4 - угол между l2 и c. Тогда ∠3 = ∠1/2 и ∠4 = ∠2/2.
• Поскольку ∠1 = ∠2, то ∠3 = ∠4.
• Углы ∠3 и ∠4 являются накрест лежащими углами при пересечении прямых l1 и l2 секущей c.
• Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, биссектрисы l1 и l2 параллельны.
2. Доказательство пункта б):
• Рассмотрим односторонние углы, образованные при пересечении прямых a и b секущей c. Обозначим их как ∠5 и ∠6.
• По свойству параллельных прямых и секущей, сумма односторонних углов равна 180°: ∠5 + ∠6 = 180°.
• Проведем биссектрисы этих углов. Обозначим их как l3 и l4.
• Так как l3 и l4 - биссектрисы, они делят углы ∠5 и ∠6 пополам соответственно.
• Пусть ∠7 - угол между l3 и c, а ∠8 - угол между l4 и c. Тогда ∠7 = ∠5/2 и ∠8 = ∠6/2.
• Рассмотрим треугольник, образованный биссектрисами l3, l4 и секущей c. Пусть ∠9 - угол между биссектрисами l3 и l4.
• Сумма углов в треугольнике равна 180°. Значит, ∠7 + ∠8 + ∠9 = 180°.
• Выразим ∠9 через ∠5 и ∠6: ∠9 = 180° - (∠7 + ∠8) = 180° - (∠5/2 + ∠6/2) = 180° - (∠5 + ∠6)/2.
• Поскольку ∠5 + ∠6 = 180°, то ∠9 = 180° - 180°/2 = 180° - 90° = 90°.
• Угол между биссектрисами l3 и l4 равен 90°, значит, биссектрисы перпендикулярны.

Ответ: Доказано, что биссектрисы накрест лежащих углов параллельны, а биссектрисы односторонних углов перпендикулярны.