308 Докажите, что в тупоугольном треугольнике основание вы- соты, проведённой из вершины тупого угла, лежит на сторо- не треугольника, а основания высот, проведённых из вершин острых углов, — на продолжениях сторон.

Доказательство:

1. Рассмотрим тупоугольный треугольник ABC, где угол B - тупой.
2. Высота, проведённая из вершины тупого угла B, перпендикулярна стороне AC.
3. Обозначим основание высоты, проведённой из вершины B, точкой H.
4. Угол AHB - прямой (90 градусов), следовательно, он меньше угла B, который является тупым.
5. Точка H не может находиться на продолжении стороны AC, так как в этом случае угол AHB будет внешним углом треугольника ABH и, следовательно, будет больше угла B, что невозможно.
6. Точка H также не может совпадать с точками A или C, так как в этом случае треугольник ABC не будет тупоугольным.
7. Таким образом, основание высоты, проведённой из вершины тупого угла B, лежит на стороне AC треугольника ABC.
8. Рассмотрим высоту, проведённую из вершины острого угла A.
9. Эта высота перпендикулярна стороне BC.
10. Обозначим основание высоты, проведённой из вершины A, точкой K.
11. Точка K не может находиться на стороне BC, так как в этом случае угол AKB будет прямым (90 градусов), что противоречит тому, что угол B - тупой.
12. Точка K также не может совпадать с точками B или C, так как в этом случае треугольник ABC не будет тупоугольным.
13. Таким образом, основание высоты, проведённой из вершины острого угла A, лежит на продолжении стороны BC треугольника ABC.
14. Аналогично, основание высоты, проведённой из вершины острого угла C, лежит на продолжении стороны AB треугольника ABC.

Ответ: Доказано, что в тупоугольном треугольнике основание высоты, проведённой из вершины тупого угла, лежит на стороне треугольника, а основания высот, проведённых из вершин острых углов, — на продолжениях сторон.