304 В равнобедренном треугольнике АВС бис- сектрисы равных углов В и С пересека- ются в точке О. Докажите, что угол ВОС равен внешнему углу треугольника при вершине В.

Доказательство:

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть $$ \angle ABC = \angle ACB $$.
2. $$ BO $$ и $$ CO $$ - биссектрисы углов $$ \angle ABC $$ и $$ \angle ACB $$ соответственно, следовательно, $$ \angle OBC = \frac{1}{2} \angle ABC $$ и $$ \angle OCB = \frac{1}{2} \angle ACB $$.
3. Так как $$ \angle ABC = \angle ACB $$, то $$ \angle OBC = \angle OCB $$.
4. Рассмотрим треугольник $$ BOC $$. Сумма углов в треугольнике равна $$ 180^{\circ} $$, значит, $$ \angle BOC = 180^{\circ} - (\angle OBC + \angle OCB) $$.
5. Подставим $$ \angle OBC = \frac{1}{2} \angle ABC $$ и $$ \angle OCB = \frac{1}{2} \angle ACB $$ в выражение для $$ \angle BOC $$. Получим: $$ \angle BOC = 180^{\circ} - (\frac{1}{2} \angle ABC + \frac{1}{2} \angle ACB) $$.
6. Так как $$ \angle ABC = \angle ACB $$, то $$ \angle BOC = 180^{\circ} - \angle ABC $$.
7. Внешний угол треугольника при вершине B равен сумме двух других углов треугольника, не смежных с ним. Обозначим внешний угол при вершине B как $$ \angle ABE $$. Тогда $$ \angle ABE = 180^{\circ} - \angle ABC $$.
8. Следовательно, $$ \angle BOC = \angle ABE $$, то есть угол $$ BOC $$ равен внешнему углу треугольника при вершине B.

Ответ: Угол $$ BOC $$ равен внешнему углу треугольника при вершине B.