310 Из точки А к прямой а проведены перпендикуляр АН и наклонные АМ, И АМ2. Докажите, что: а) если АМ₁ = AM2, ΤΟ ΗΜ₁ = HM2; б) если АМ₁ <АМ2, ΤΟ ΗΜ₁ <HM2.

Дано: AH - перпендикуляр к прямой a, AM1 и AM2 - наклонные к прямой a.

а) Доказать: Если AM1 = AM2, то HM1 = HM2.

Доказательство:

1. Так как AH - перпендикуляр к прямой a, то треугольники AHM1 и AHM2 - прямоугольные.
2. В прямоугольных треугольниках AHM1 и AHM2 AH - общий катет, а AM1 = AM2 (по условию).
3. Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
4. Следовательно, треугольники AHM1 и AHM2 равны по катету и гипотенузе.
5. В равных треугольниках соответственные стороны равны. Значит, HM1 = HM2.

б) Доказать: Если AM1 < AM2, то HM1 < HM2.

Доказательство:

1. В прямоугольном треугольнике катет AH не зависит от величины HM1 и HM2.
2. Рассмотрим теорему Пифагора для треугольников AHM1 и AHM2:
3. $$AM1^2 = AH^2 + HM1^2$$
4. $$AM2^2 = AH^2 + HM2^2$$
5. $$HM1^2 = AM1^2 - AH^2$$
6. $$HM2^2 = AM2^2 - AH^2$$
7. Так как AM1 < AM2, то $$AM1^2 < AM2^2$$.
8. $$AM1^2 - AH^2 < AM2^2 - AH^2$$.
9. Значит, $$HM1^2 < HM2^2$$.
10. Если $$HM1^2 < HM2^2$$, то HM1 < HM2.

Ответ:

a) Если AM1 = AM2, то HM1 = HM2, что и требовалось доказать.

б) Если AM1 < AM2, то HM1 < HM2, что и требовалось доказать.