309 Из точки А к прямой а проведены перпендикуляр АН и на- клонные АМ₁ и АМ2. Докажите, что: а) если НМ₁ = HM2, TO AM₁ = AM2; б) если НМ₁ <HM2, ΤΟ ΑΜ <AM2.

Доказательство:

а) Дано: AH - перпендикуляр к прямой a, AM1 и AM2 - наклонные к прямой a, HM1 = HM2.

Доказать: AM1 = AM2.

1. Так как AH - перпендикуляр к прямой a, то треугольники AHM1 и AHM2 - прямоугольные.
2. В прямоугольных треугольниках AHM1 и AHM2 AH - общий катет, а HM1 = HM2 (по условию).
3. Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
4. Следовательно, треугольники AHM1 и AHM2 равны по двум катетам.
5. В равных треугольниках соответственные стороны равны. Значит, AM1 = AM2.

б) Дано: AH - перпендикуляр к прямой a, AM1 и AM2 - наклонные к прямой a, HM1 < HM2.

Доказать: AM1 < AM2.

1. В прямоугольном треугольнике катет AH не зависит от величины HM1 и HM2.
2. Рассмотрим теорему Пифагора для треугольников AHM1 и AHM2:
3. $$AM1^2 = AH^2 + HM1^2$$
4. $$AM2^2 = AH^2 + HM2^2$$
5. Так как HM1 < HM2, то $$HM1^2 < HM2^2$$.
6. Следовательно, $$AH^2 + HM1^2 < AH^2 + HM2^2$$.
7. Значит, $$AM1^2 < AM2^2$$.
8. Если $$AM1^2 < AM2^2$$, то AM1 < AM2.

Ответ:

а) Если HM1 = HM2, то AM1 = AM2, что и требовалось доказать.

б) Если HM1 < HM2, то AM1 < AM2, что и требовалось доказать.