306 На рисунке 151 AD || ВЕ, АС = AD и BC = = ВЕ. Докажите, что угол DCE — прямой.

Дано: AD || BE, AC = AD и BC = BE.

Доказать: угол DCE - прямой.

Доказательство:

1. Так как AD || BE, то $$ \angle DAC = \angle AEC $$ (как накрест лежащие углы).
2. Так как AC = AD, то треугольник ACD - равнобедренный. Значит, $$ \angle ACD = \angle ADC $$.
3. Сумма углов треугольника ACD равна 180 градусов. $$ \angle DAC + \angle ACD + \angle ADC = 180^{\circ} $$.
4. Так как $$ \angle ACD = \angle ADC $$, то $$ \angle DAC + 2 \angle ACD = 180^{\circ} $$.
5. Отсюда $$ \angle ACD = \frac{180^{\circ} - \angle DAC}{2} $$.
6. Аналогично, так как BC = BE, то треугольник BCE - равнобедренный. Значит, $$ \angle BCE = \angle BEC $$.
7. Сумма углов треугольника BCE равна 180 градусов. $$ \angle CBE + \angle BCE + \angle BEC = 180^{\circ} $$.
8. Так как $$ \angle BCE = \angle BEC $$, то $$ \angle CBE + 2 \angle BCE = 180^{\circ} $$.
9. Отсюда $$ \angle BCE = \frac{180^{\circ} - \angle CBE}{2} $$.
10. $$ \angle DCE = 180^{\circ} - (\angle ACD + \angle BCE) $$.
11. Подставим выражения для углов $$ \angle ACD $$ и $$ \angle BCE $$ в выражение для $$ \angle DCE $$. Получим $$ \angle DCE = 180^{\circ} - (\frac{180^{\circ} - \angle DAC}{2} + \frac{180^{\circ} - \angle CBE}{2}) $$.
12. Так как AD || BE, то $$ \angle DAC + \angle CBE = 180^{\circ} $$ (как односторонние углы).
13. Тогда $$ \angle DCE = 180^{\circ} - (\frac{180^{\circ} - \angle DAC}{2} + \frac{180^{\circ} - (180^{\circ} - \angle DAC)}{2}) $$.
14. $$ \angle DCE = 180^{\circ} - (\frac{180^{\circ} - \angle DAC}{2} + \frac{\angle DAC}{2}) $$.
15. $$ \angle DCE = 180^{\circ} - \frac{180^{\circ}}{2} = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} $$.
16. Следовательно, угол DCE - прямой.

Ответ: угол DCE прямой, что и требовалось доказать.