Докажите, что значение выражения не зависит от n: 17 5²ⁿ⁺⁷ : 5²ⁿ⁻¹; 18 (8²ⁿ⁺²) / (4³ⁿ⁺¹); 19 (21ⁿ⁺³) / (3ⁿ⁺¹ · 7ⁿ⁺²).

Решение:

Чтобы доказать, что выражение не зависит от n, нужно упростить его так, чтобы переменная n исчезла.

17. 5²ⁿ⁺⁷ : 5²ⁿ⁻¹

1. Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием: aᵐ : aᵏ = aᵐ⁻ᵏ
2. 5⁽²ⁿ⁺⁷⁾⁻⁽²ⁿ⁻¹⁾ = 5²ⁿ⁺⁷⁻²ⁿ⁺¹ = 5⁽²ⁿ⁻²ⁿ⁾⁺⁽⁷⁺¹⁾ = 5⁸
3. Результат 5⁸ не содержит n, значит, выражение не зависит от n.

18. (8²ⁿ⁺²) / (4³ⁿ⁺¹)

1. Представим числа 8 и 4 как степени двойки: 8 = 2³, 4 = 2².
2. 8²ⁿ⁺² = (2³)²ⁿ⁺² = 2³⁽²ⁿ⁺²⁾ = 2⁶ⁿ⁺⁶
3. 4³ⁿ⁺¹ = (2²)³ⁿ⁺¹ = 2²⁽³ⁿ⁺¹⁾ = 2⁶ⁿ⁺²
4. Теперь разделим:
5. 2⁶ⁿ⁺⁶ / 2⁶ⁿ⁺² = 2⁽⁶ⁿ⁺⁶⁾⁻⁽⁶ⁿ⁺²⁾ = 2⁶ⁿ⁺⁶⁻⁶ⁿ⁻² = 2⁴
6. Результат 2⁴ не содержит n, значит, выражение не зависит от n.

19. (21ⁿ⁺³) / (3ⁿ⁺¹ · 7ⁿ⁺²)

1. Представим 21 как произведение 3 и 7: 21 = 3 · 7.
2. 21ⁿ⁺³ = (3 · 7)ⁿ⁺³ = 3ⁿ⁺³ · 7ⁿ⁺³
3. Теперь подставим это в числитель дроби:
4. (3ⁿ⁺³ · 7ⁿ⁺³) / (3ⁿ⁺¹ · 7ⁿ⁺²)
5. Разделим степени с одинаковым основанием:
6. (3ⁿ⁺³ / 3ⁿ⁺¹) · (7ⁿ⁺³ / 7ⁿ⁺²) = 3⁽ⁿ⁺³⁾⁻⁽ⁿ⁺¹⁾ · 7⁽ⁿ⁺³⁾⁻⁽ⁿ⁺²⁾
7. = 3⁽ⁿ⁺³⁻ⁿ⁻¹⁾ · 7⁽ⁿ⁺³⁻ⁿ⁻²⁾ = 3² · 7¹
8. = 9 · 7 = 63
9. Результат 63 не содержит n, значит, выражение не зависит от n.

Вывод: Во всех трех случаях упрощенное выражение не содержит переменную n, что доказывает, что значение выражения не зависит от n.