601. Геометрическая прогрессия (х) состоит из четырёх членов: 2, a, b, \frac{1}{4}. Найдите а и b.

Дано: геометрическая прогрессия $$x_1 = 2$$, $$x_4 = \frac{1}{4}$$.

Найти: $$x_2 = a$$, $$x_3 = b$$.

Решение:

1. Выразим $$x_4$$ через $$x_1$$ и $$q$$: $$x_4 = x_1 \cdot q^{4-1} = x_1 \cdot q^3$$.
2. Выразим $$q^3$$: $$q^3 = \frac{x_4}{x_1} = \frac{\frac{1}{4}}{2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$$.
3. Выразим $$q$$: $$q = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$$.
4. Найдём $$a$$: $$a = x_2 = x_1 \cdot q = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$$.
5. Найдём $$b$$: $$b = x_3 = x_2 \cdot q = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$.

Ответ: $$a = 1$$, $$b = \frac{1}{2}$$.