595. В треугольнике АВС (рис. 72) прове- ли среднюю линию А1С1, в треуголь- нике А1ВС1 также провели среднюю линию А2С2, во вновь образовавшем- ся треугольнике А2ВС₂ снова прове- ли среднюю линию АзС3 и т. д. Най- дите площадь треугольника А₉ВС₉, если известно, что площадь треуголь- ника АВС равна 768 см³.

Дано: треугольник ABC, $$S_{ABC} = 768 \text{ см}^2$$, $$A_1C_1$$, $$A_2C_2$$, $$A_3C_3$$ - средние линии, $$S_{A_9BC_9}$$ - площадь треугольника.

Найти: $$S_{A_9BC_9}$$.

Решение:

Средняя линия треугольника делит его площадь пополам, поэтому:

$$S_{A_1BC_1} = \frac{1}{4}S_{ABC}$$,

$$S_{A_2BC_2} = \frac{1}{4}S_{A_1BC_1} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}S_{ABC} = (\frac{1}{4})^2S_{ABC}$$,

$$S_{A_3BC_3} = \frac{1}{4}S_{A_2BC_2} = \frac{1}{4} \cdot (\frac{1}{4})^2S_{ABC} = (\frac{1}{4})^3S_{ABC}$$,

Следовательно, площадь треугольника $$A_9BC_9$$ будет:

$$S_{A_9BC_9} = (\frac{1}{4})^9S_{ABC} = (\frac{1}{4})^9 \cdot 768 = \frac{768}{262144} = \frac{3}{1024} \approx 0.00293 \text{ см}^2$$.

Ответ: $$S_{A_9BC_9} = \frac{3}{1024} \text{ см}^2$$.